ヘッケはこれらのL-函数が全複素平面へ有理型接続を持ち、指標が自明であるときには s = 1 でオーダー 1 である極を持ち、それ以外では解析的であることを証明した。原始ヘッケ指標（原始ディリクレ指標に同じ方法である modulus に相対的に定義された）に対し、ヘッケは、これらのL-函数が指標の L-函数の函数等式を満たし、L-函数の複素共役指標であることを示した。 主イデアル上の座と、無限での座を含む全ての例外有限集合の上で 1 である単円の上への写像を取ることで、イデール類群の指標 ψ を考える。すると、ψ はイデアル群 IS の指標 χ を生成し、イデアル群は S 上に入らない素イデアル上の自由アーベル群となる。[2] S に入らない各々の素イデアル p の統一された元 π を取り、各々の p を、p の中では π であり、そうでない場合は 1 であるようなイデールのクラスへ写すことにより、IS からイデアル類への写像 Π を定義することができる。χ を Π と ψ の合成とすると、χ はイデアル群上の指標としてうまく定義できる。
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